Теперь ясно все. Заполняем результаты Бунина, Воронова и Гусева.

171 - 176

Задача 171. Андрей, Борис, Вадим и Геннадий заняли первые четыре места в соревновании по перетягиванию каната. На вопрос корреспондента, какое место занял каждый из них, было получено три ответа:

1) Андрей — первый, Борис — второй,

2) Андрей — второй, Геннадий — третий,

3) Вадим — второй, Геннадий — четвертый.

В каждом из этих ответов одна часть правдива, а вторая ложна. Кто занял какое место?

Приходится анализировать варианты. Это можно делать по-разному. Можно выяснить, возможно ли, чтобы в первом ответе первая часть была правдой, а вторая ложью, и так далее. Однако, удобнее проверить, возможно ли, чтобы тот или иной мальчик занял то или иное место. Чаще всего в ответах упоминаются Андрей и Геннадий. С любого из них и нужно начать. Начнем, например, с Андрея. Именно рассмотрим, мог ли Андрей занять первое место, мог ли второе, мог ли третье, мог ли четвертое.

Пусть Андрей занял первое место. Тогда в первом ответе первая часть — правда, а значит, вторая часть — неправда, то есть Борис — не второй (но и не первый, так как первый — Андрей), а третий или четвертый. Во втором ответе первая часть — неправда, так как Андрей — не второй, а первый. Значит, во втором ответе вторая часть — правда, откуда получается, что Геннадий — третий. Поэтому Борис — не третий, а четвертый, и мы получаем такое распределение:

Андрей — первый, Вадим — второй, Геннадий — третий, Борис — четвертый. Осталось с этой точки зрения просмотреть третий ответ. «Вадим — второй» — правда, «Геннадий — четвертый» — неправда. Все сходится.

Но, быть может, Андрей мог быть и вторым? Нет, так как тогда первый ответ был бы полностью ложным.

Не мог быть Андрей и третьим, так как тогда полностью ложен второй ответ.

Не мог быть Андрей и четвертым, что доказать несколько труднее — нужно сопоставлять разные ответы. Из первого следует, что Борис — второй, из второго — что Геннадий — третий, но тогда полностью лжив третий ответ.

Ответ: Андрей — первый, Вадим — второй, Геннадий — третий, Борис — четвертый.

Задача 172. Какой цифрой оканчивается выражение 23 · 24 · 25 + 321321 : 13?

Первое слагаемое оканчивается нулем, а второе семеркой.

Ответ: 7.

Задача 173. Доказать, что число людей, сделавших нечетное число рукопожатий, не может быть нечетным.

Общее число рукопожатий, сделанных всеми людьми, четно. И если бы сделавших нечетное число рукопожатий было нечетно, то это правило было бы нарушено. Полезно пригласить к доске трех человек и попросить их несколько раз пожать друг другу руки. Выясняется, что при каждом рукопожатии число рукопожатий, сделанных каждым, увеличивается на 2, так что оно всегда четно.

Задача 174. В краже дырки от бублика подозреваются четверо: А, Б, В и Г. На допросе они сказали:

А. Это сделал Б.

Б. Это сделал Г.

В. Это сделал не я.

Г. Б лжет, что это сделал я.

Правду сказал только один из них. Кто совершил кражу?

Нужно несколько упростить заявление Г и составить таблицу их заявлений:

А теперь посмотрим, сколько ответов окажутся правдивыми и сколько ложными в каждом из возможных случаев.

Случай первый. Кражу совершил А. Тогда заявления A и Б ложны, а заявления В и Г правдивы, что не согласуется с условием «правду сказал только один».

Случай второй. Кражу совершил Б. Тогда заявления А, В и Г правдивы, что не согласуется с условием «правду сказал только один».

Случай третий. Кражу совершил В. Тогда заявления А, Б и В ложны, а заявление Г правдиво, что согласуется с условием «правду сказал только один».

Случай четвертый. Кражу совершил Г. Тогда заявления А и Г ложны, а заявления Б и В правдивы, что не согласуется с условием «правду сказал только один».

Ответ: Кражу совершил В.

Задача 175. Пусть запись

 обозначает наибольшее из чисел 2а и а + b. Решите уравнение

Это — очень трудная задача, рассчитанная на детей особо одаренных или особо развитых математически. Запись

 может обозначать либо 2х (если х > 3), либо х + 3 (если х < 3). Запись  — либо 10 (если х < 5), либо 5 + х (если х > 5). Поэтому наше уравнение выглядит так: 2х = 10 (если 3 < х < 5), либо х + 3 = 10 (если х < 3), либо 2х = = 5 + х (если х > 5).

Первое уравнение дает ответ 5, отвечающий условию 3 < х < 5, второе — ответ 7, не отвечающий условию х < 3, третье — ответ 5, отвечающий условию х > 5.

Ответ: х = 5.

Задача 176. Пусть запись а$b обозначает наименьшее из чисел а + b и 2b. Решите уравнение х$3= 5$х.

Эту задачу нужно дать непосредственно за предыдущей тем детям, которые предыдущей задачей заинтересовались. Запись х$3 обозначает то же, что и запись

 в предыдущей задаче. Поэтому и решение и ответ в этой задаче те же.

Ответ: х = 5.

Использованная и рекомендуемая литература

Среди задач, вошедших в этот сборник, безусловно, имеются придуманные автором. Однако, многие задачи взяты из других источников, а иногда и просто из так называемого математического фольклора. Впрочем, возьмите любой из источников, приведенных ниже. Почти в каждом есть задача про волка, козу и капусту, а вот кто автор этой задачи, по-моему, этого не знает никто. Есть задачи с известным авторством, а есть с неизвестным. Поэтому публикация нижеприведенного списка имеет единственную цель — призвать учителей начальной школы читать и другие книги с нестандартными задачами.

1. Перельман Я.И. Живая математика. Любое издание.

2. Перельман Я.И. Занимательная арифметика. Любое издание.

3. Кордемский Б.А. Математическая смекалка. М.: ГИТТЛ, 1955.

4. Германович П.Ю. Сборник задач по математике на сообразительность. М.: Учпедгиз, 1960.

5. Кордемский Б.А., Ахадов А.А. Удивительный мир чисел, М.: Просвещение, 1986.

6. Аменицкий Н.Н., Сахаров И.П. Забавная арифметика. М.: Наука, 1992.

7. Баврин И.И., Фрибус Е.А. Старинные задачи. М.: Просвещение, 1994.